1а. Центр нижньої основи куба з’єднали прямими з чотирма вершинами верхньої основи. Визначити кути між цими прямими.
Відповідь: ,
1б. Точка – середина ребра куба . Знайти кут між прямими:
а) і б) і в) і
Відповідь: а) б) в)
2. Точка – середина ребра правильного тетраедра . Знайти кут між прямими і .
Відповідь:
3. Точки і – середини ребер і тетраедра , в якому , а кут між прямими і дорівнює . Знайти кут між прямими і
Відповідь: ,
4. Всі ребра правильної чотирикутної піраміди мають однакову довжину. Знайти кут між прямими
а) та , де і – середини ребер і відповідно.
б) і , де – середина ребра .
Відповідь: а) б)
5. Ребра і тетраедра перпендикулярні і . На ребрі взято точки і , а на ребрі точки і так, що , . Знайти відстань між серединами відрізків і .
Відповідь:
6. В тетраедрі кути і прямі, кут між прямими і дорівнює , . Знайти кут між прямими і .
Відповідь:
7. Через вершину куба проведено площину, паралельну діагоналі куба і діагоналі його грані. Знайти кут між цією площиною і площиною .
Відповідь:
8. В піраміді ребро перпендикулярне до площини , , . Через середину ребра проведена площина, перпендикулярна ребру . Знайти відстань від вершини до цієї площини.
Відповідь:
9. Грань призми перпендикулярна її основі . Висота призми дорівнює , площа грані дорівнює площі основи призми. Знайти відстань від точки до площини .
Відповідь:
10. У правильній трикутній призмі сторона основи має довжину , висота призми дорівнює . Знайти довжину відрізка, що з’єднує середини сторін основ, які не лежать в одній грані.
Відповідь:
11. В правильній трикутній призмі сторона основи має довжину , висота дорівнює . Знайти довжину відрізка, який з’єднує точку перетину діагоналей бічної грані з серединою сторони основи, що лежить в одній із сусідніх бічних граней.
Відповідь:
12. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи має довжину , висота дорівнює . Знайти довжину відрізка, який з’єднує середину апофеми з одною з вершин основи, яка не належить грані, що містить вказану апофему.
Відповідь:
13. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи має довжину , висота дорівнює . Знайти довжину відрізка, який з’єднує середину бічного ребра з серединою сторони основи, що лежить в бічній грані, яка не містить це бічне ребро.
Відповідь:
14. У правильній трикутній призмі сторона основи має довжину , висота призми дорівнює .Відрізок з’єднує точку перетину діагоналей бічної грані з серединою медіани основи, проведеної з вершини, яка лежить в цій бічній грані. Знайти довжину цього відрізка.
Відповідь:
15. У правильній трикутній піраміді сторона основи має довжину відрізка , висота дорівнює . Знайти довжину відрізка, який сполучає середину бучного ребра з основою висоти піраміди.
Відповідь:
16. У правильній трикутній призмі кожне ребро дорівнює 1. Визначити відстань від вершини призми до площини, проведеної через точки , і , де
Відповідь:
17. В основі правильної піраміди лежить квадрат із стороною 1. Висота цієї піраміди також дорівнює 1. Визначити відстань від середини бічного ребра до площини, проведеної через середину ребра перпендикулярно до ребра .
Відповідь:
18. В основі піраміди лежить правильний трикутник із стороною 8 см. Бічна грань перпендикулярна до площини основи і являє собою рівнобедрений трикутник . Висота піраміди, проведена з вершини дорівнює 5 см. На цій висоті взято точку , яка ділить її у відношенні , рахуючи від вершини . Через точку і точки перетину медіан бічних граней і проведено площину. Знайти відстань від вершини до цієї площини.
Відповідь:
19. В основі прямокутного паралелепіпеда лежить прямокутник із сторонами і . Бічні ребра мають довжину 1. Через діагональ проведено площину перепендикулярно до площини . Знайти відстань від вершини до проведеної площини.
Відповідь:
20. В основі прямої призми лежить рівнобедрений прямокутний трикутник з катетом . Знайти відстань між прямими та , якщо довжина бічного ребра дорівнює .
Відповідь:
21. Основою трикутної піраміди є прямокутний трикутник з катетами , . Кожне з бічних ребер піраміди дорівнює . Знайти відстань між прямими і
Відповідь:
22. У правильній трикутній призмі кожне ребро дорівнює . Знайти відстань між діагоналлю та висотою трикутника
Відповідь: