,
1а. Центр нижньої основи куба з’єднали прямими з чотирма вершинами верхньої основи. Визначити кути між цими прямими.
Відповідь:
,
1б. Точка
– середина ребра
куба
. Знайти кут між прямими:
а)
і
б)
і
в)
і
Відповідь: а)
б)
в)
2. Точка
– середина ребра
правильного
тетраедра
. Знайти кут між прямими
і
.
Відповідь:
3. Точки
і
– середини ребер
і
тетраедра
, в якому
, а кут між прямими
і
дорівнює
. Знайти кут між прямими
і
Відповідь:
,
4. Всі
ребра правильної чотирикутної піраміди
мають однакову
довжину. Знайти кут між прямими
а)
та
, де
і
– середини ребер
і
відповідно.
б)
і
, де
– середина ребра
.
Відповідь:
а)
б)
5. Ребра
і
тетраедра
перпендикулярні і
. На ребрі
взято точки
і
, а на ребрі
точки
і
так, що
,
. Знайти відстань між серединами відрізків
і
.
Відповідь:
6. В
тетраедрі
кути
і
прямі, кут між
прямими
і
дорівнює
,
. Знайти кут між прямими
і
.
Відповідь:
7. Через
вершину
куба
проведено площину,
паралельну діагоналі
куба і діагоналі
його грані. Знайти
кут між цією площиною і площиною
.
Відповідь:
8. В
піраміді
ребро
перпендикулярне до
площини
,
,
. Через середину ребра
проведена площина,
перпендикулярна ребру
. Знайти відстань від вершини
до цієї площини.
Відповідь:
9. Грань
призми
перпендикулярна її
основі
. Висота призми дорівнює
, площа грані
дорівнює площі
основи призми. Знайти відстань від точки
до площини
.
Відповідь:
10. У
правильній трикутній призмі сторона основи
має довжину
, висота призми дорівнює
. Знайти довжину відрізка, що з’єднує
середини сторін основ, які не лежать в одній
грані.
Відповідь:
11. В
правильній трикутній призмі сторона основи
має довжину
, висота дорівнює
. Знайти довжину відрізка, який з’єднує
точку перетину діагоналей бічної грані з
серединою сторони основи, що лежить в одній
із сусідніх бічних граней.
Відповідь:
12. У
правильній чотирикутній піраміді сторона
основи має довжину
, висота дорівнює
. Знайти довжину відрізка, який з’єднує
середину апофеми з одною з вершин основи,
яка не належить грані, що містить вказану
апофему.
Відповідь:
13. У
правильній чотирикутній піраміді сторона
основи має довжину
, висота дорівнює
. Знайти довжину відрізка, який з’єднує
середину бічного ребра з серединою сторони
основи, що лежить в бічній грані, яка не містить
це бічне ребро.
Відповідь:
14. У
правильній трикутній призмі сторона основи
має довжину
, висота призми дорівнює
.Відрізок з’єднує точку перетину діагоналей
бічної грані з серединою медіани основи,
проведеної з вершини, яка лежить в цій бічній
грані. Знайти довжину цього відрізка.
Відповідь:
15. У
правильній трикутній піраміді сторона
основи має довжину відрізка
, висота дорівнює
. Знайти довжину відрізка, який сполучає
середину бучного ребра з основою висоти піраміди.
Відповідь:
16. У
правильній трикутній призмі
кожне ребро дорівнює
1. Визначити відстань від вершини
призми до площини,
проведеної через точки
,
і
, де
Відповідь:
17. В
основі правильної піраміди лежить квадрат
із стороною 1. Висота
цієї піраміди
також дорівнює 1. Визначити відстань від
середини бічного ребра
до площини, проведеної через середину
ребра
перпендикулярно до
ребра
.
Відповідь:
18. В
основі піраміди
лежить правильний
трикутник
із стороною 8 см. Бічна
грань
перпендикулярна до
площини основи і являє собою рівнобедрений
трикутник
. Висота піраміди, проведена з вершини
дорівнює 5 см. На цій
висоті взято точку
, яка ділить її у відношенні
, рахуючи від вершини
. Через точку
і точки перетину
медіан бічних граней
і
проведено площину.
Знайти відстань від вершини
до цієї площини.
Відповідь:
19. В
основі прямокутного паралелепіпеда
лежить прямокутник
із сторонами
і
. Бічні ребра мають довжину 1. Через діагональ
проведено площину
перепендикулярно до площини
. Знайти відстань від вершини
до проведеної
площини.
Відповідь:
20. В
основі прямої призми
лежить рівнобедрений
прямокутний трикутник
з катетом
. Знайти відстань між прямими
та
, якщо довжина бічного ребра дорівнює
.
Відповідь:
21. Основою
трикутної піраміди
є прямокутний
трикутник з катетами
,
. Кожне з бічних ребер піраміди дорівнює
. Знайти відстань між прямими
і
Відповідь:
22. У
правильній трикутній призмі
кожне ребро дорівнює
. Знайти відстань між діагоналлю
та висотою
трикутника
Відповідь: