I.Рівняння фігур

Як відомо, аналогом прямої на площині є площина у просторі. Тому не дивно, що рівняння прямої та відповідне рівняння площини - одного типу ( лінійне рівняння, відповідно з двома і трьома змінними). Було б зручно, щоб і виводились вони схожими методами. Однак, рівняння прямої в планіметрії ми виводимо, користуючись властивістю середнього перпендикуляра, а рівняння площини – “за допомогою” вектора нормалі. Це й зрозуміло, адже в планіметрії вектори вивчаються значно пізніше, а в стереометрії навпаки – вектори розглядаються раніше ніж рівняння площини.

Було б недоцільно, щоб знання учнів відтворювали, вимушені обставинами методичного характеру, прогалини в навчальному матеріалі. Тим більше, що у допитливих учнів природно виникає питання: чи можна рівняння прямої одержати за допомогою векторів, а рівняння площини – не використовуючи їх?

Досвід переконує, що розділ “Декартові координати і вектори у просторі” корисно завершувати системним оглядом матеріалу. Для цього, зокрема, можна використовувати таблицю “Рівняння фігур”, наведену далі, та записи відповідних виведень, які виконуються так, щоб ілюструвати їх аналогічність.

У таблиці схематично представлені три методи виведення рівняння площини та відповідного рівняння прямої, а саме:

1.           метод геометричних місць;
2.           з застосуванням скалярного добутку векторів;
3.           з використанням точок, що визначають площину (пряму).

Рівняння фігур

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка є пряма l,що проходить через середину цього відрізка перпендикулярно до нього.

Нехай кінці відрізка – , , довільну точку прямої позначимо .

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка є площина α, що проходить через середину цього відрізка перпендикулярно до нього.

Нехай кінці відрізка - , , довільну точку площини позначимо

тоді

Спрощуючи, одержимо

Позначивши

Маємо

2. Оскільки учні ознайомлені із застосуванням скалярного добутку до виведення рівняння площини, можна запропонувати у якості домашньої роботи виведення відповідного рівняння прямої.

3. Рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки, як і рівняння площини, що проходить через три задані точки, доцільно виводити для конкретно заданих точок.

Знайдемо рівняння площини, що проходить точки Знайдемо рівняння прямої, що проходить через та

Загальне рівняння

прямої

оскільки задані точки А і B належать
шуканій прямій, то їх координати
перетворюють рівняння прямої
у істинну рівність
площини

оскільки точки A,B і C належать
шуканій площині, то їх координати
перетворюють рівняння площини у істину рівність

Маємо

Звідси

Підставивши значення

і через
, і через

Знання, стаючи системними, стають і продуктивними.