II.Кути та відстані у просторі

Завершуючи роботу з таблицею, доцільно розглянути один із способів обчислення кута між площинами, а саме – координатно – векторний.

Насамперед, розглянемо зв’язок кута між площинами і кута між їх нормальними векторами.

На площині Кути із взаємно-перпендикулярними сторонами рівні або їх сума дорівнює 180˚.

У просторі Кут між площинами дорівнює куту між нормальними векторами цих площин або їх сума дорівнює 180˚.

Оскільки коефіцієнти , і  у загальному рівнянні площини є координатами нормального вектора, а також, враховуючи, що кут між площинами за означенням гострий, маємо наступний алгоритм обчислення кута між площинами:

1.     Задаємо деяку (зручну для нас) систему координат.

2.     Визначаємо координати трійок точок, через які проходять вказані площини.

3.     Знаходимо рівняння площин.

4.     Записуємо координати векторів нормалі.

5.     Використовуючи скалярний добуток векторів, визначаємо косинус кута між нормальними векторами.

6.      Робимо висновок

Подібний алгоритм можна скласти і для знаходження кута між прямими, кута між прямою та площиною, відстані між мимобіжними прямими.

Що стосується останнього, то тут, залежно від початкових умов можуть бути використані 2 способи. Розглянемо кожен з них.

Відстань між мимобіжними прямими – це довжина їх спільного перпендикуляра, тобто довжина відрізка (або вектора), перпендикулярного кожній із заданих прямих  з кінцями на цих прямих.

Нехай l₁ та  l₂ – мимобіжні прямі, , , , .

Щоб розв’язати задачу знаходження відстані між прямими l₁  та  l₂ треба знайти довжину вектора . Якщо для цього використовуватимемо координатний метод, то спочатку знайдемо координати двох точок на кожній з прямих:

;

;

Після цього

1        складемо векторну рівність

    або  

Враховуємо колінеарність пар векторів

 та :

 та : 

2        тоді

                                     (*)

За координатами точок A, B, C, D виражаємо координати вектора  через дві невідомі величини  та  з правої частини формули (*).

3        враховуючи, що

отримаємо систему двох рівнянь з двома невідомими. Звідки знаходимо значення та , а отже і координати вектора .

4        знаючи координати вектора , легко знайти його довжину.

Заслуговує на увагу і такий спосіб визначення відстані між мимобіжними прямими.

Нехай а та b – задані мимобіжні прямі. Через довільну точку М прямої b проведемо

пряму a₁||a. Прямі a₁ та b перетинаються, отже однозначно визначають площину α. Згідно з ознакою паралельності прямої і площини

а|| a .

Тому відстань між мимобіжними прямими дорівнюватиме відстані від будь – якої  точки A  прямої а до побудованої ( зазначеної) площини α .

Таким чином, розв’язання задачі на визначення відстані між мимобіжними прямими зводиться до визначення відстані від довільної точки, взятої на одній з цих прямих, до площини, паралельної їй, проведеної через другу мимобіжну пряму.

Теми “Кут між прямими” та “Відстань між мимобіжними прямими” вивчається у 10 класі. І досить добре було б завершити вивчення цих тем розв’язуванням задач, в яких треба визначити обидві вказані величини за різних початкових умов.

В 11 класі, коли учні знайомі з усіма многогранниками та їх характеристиками доцільно розглянути задачі, в процесі розв’язування яких органічно поєднуються нові знання та вивчене раніше.