III.Приклади розв’язування задач

Задача 1

1. Основою піраміди   є рівнобедрений  прямокутний трикутник   з гіпотенузою . Бічне ребро  перпендикулярне до площини основи і дорівнює 1.  Знайти величину кута і відстань між мимобіжними прямими, одна з яких проходить через точку  і середину ребра , а друга – через точку  і середину .

Розв’язування

Позначимо через  – середину ,      через  – середину .

Тоді  та  – мимобіжні прямі, відстань і кут між якими і треба знайти за умов:

, °, HR=1, .

Проведемо через точку  пряму || , а через точку  пряму b|| (у площині основи).

- точка перетину прямих а та b, А₁ - точка перетину прямих а та .

Згідно означення кута між мимобіжними прямими, менший з кутів HAF та HAA₁ і буде шуканим.

HAF - кут ∆HFA.

За умовою - медіана рівнобедреного трикутника , але

|| , || ° гострий кут прямокутного - шуканий.

З ΔHFA:    ,                  .

З ΔHRF:    °,                     , де  - за умовою.

З ΔRFA:  

Тоді 

Тепер знайдемо відстань між вказаними прямими. Очевидно, що в силу побудови, шукана відстань буде дорівнювати відстані від точки до площини  (адже || || ). 

Для знаходження цієї відстані розглянемо тетраедр  в якому - шукана відстань і висота.

Враховуючи, що ,

              маємо                          ,      .

Про наведений розв’язок впевнено можна сказати, що він може бути виконаний лише 11- класниками. А задача – то ж гарна! І так хочеться розв’язати її з десятикласниками. Тут можуть стати у пригоді вектори і координати. А саме: виберемо систему координат так, щоб початок координат співпадав з точкою , сторона  належала осі абсцис, - осі ординат, а ребро - осі аплікат.

У вибраній системі координат встановимо координати точок , враховуючи дані задачі.

, ,
.

 ;   величина шуканого кута 60°.

А відстань між прямими  та  визначимо за відповідною формулою як відстань від точки  до площини . Координати точки відомі. Залишилося записати рівняння площини  .

   - загальне рівняння цієї площини.

За раніше побудованою схемою, маємо    .

За формулою

Відповідь: 60^о та  .

На мою думку другий спосіб простіший і зручніший. Але, на жаль, його використання ускладнюється, якщо за умовою задачі в основі заданої піраміди лежатиме не прямокутний трикутник. Наприклад, як у наступній задачі, що підкреслює доцільність розв’язування задач різними способами.

 

ДОВІДКА Про різні методи розв’язування задачі говорять тоді, коли для цих розв’язань характерні системи понять і міркувань з різних великих розділів математичної науки, наприклад, методи геометричних місць, координатний, векторний, алгебраїчний та інші. Коли йдеться про розв’язання однієї і тієї самої задачі за допомогою різних методів або прийомів, говорять про різні способи розв’язання. Векторний метод розв’язання стереометричних задач пов’язаний з використанням властивостей векторів. Розв’язуючи задачу векторним методом, спочатку подані в задачі співвідношення перекладають на “мову векторів”, і, нарешті, від мови векторів знову переходять до мови геометрії. Якщо, розв’язуючи геометричну задачу оперують координатами окремих точок, рівняннями ліній або поверхонь, то використовують координатний метод. Координатний метод часто поєднують з векторним, розглядаючи вектори, задані своїми координатами. Раціональність розв’язання стереометричної задачі координатним методом значною мірою залежить від того, як розглядувану фігуру розмістити відносно координатних осей. Найзручніше цим методом користуватись тоді, коли йдеться про фігури, що мають прямий тригранний кут. У цьому разі осі координат доцільно розмістити в напрямі ребер тригранного кута. Але не тільки такі задачі можна розв’язувати координатним методом.